Определённый интеграл.
Свойства определённого интеграла (линейность, аддитивность, теорема о среднем значении и другие).
\,dx=\Bigl.{\lambda%20F(x)}\Bigr|_{a}^{b}=%20\lambda%20F(b)-\lambda%20F(a)=\lambda%20\Bigl(F(b)-F(a)\Bigr)=%20\lambda%20\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.})
+f_2(x)\Bigr)dx=%20\int\limits_{a}^{b}f_1(x)\,dx+%20\int\limits_{a}^{b}f_2(x)\,dx\,.})
![\begin{aligned}\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_1(x)+f_2(x)\Bigr)dx&= \left.{\Bigl(F_1(x)+ F_2(x)\Bigr)}\right|_{a}^{b}= \Bigl(F_1(b)+F_2(b)\Bigr)-\Bigl(F_1(a)+F_2(a)\Bigr)=\\[-8pt] &=\Bigl(F_1(b)-F_1(a)\Bigr)+\Bigl(F_2(b)-F_2(a)\Bigr) =\int\limits_{a}^{b}f_1(x)\,dx+ \int\limits_{a}^{b} f_2(x)\,dx\,.\end{aligned}](http://tools.jcisio.com/tex/mathtex/mathtex.cgi?\usepackage[usenames]{color}\gammacorrection{1.5}\dpi{130}{\begin{aligned}\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_1(x)+f_2(x)\Bigr)dx&=%20\left.{\Bigl(F_1(x)+%20F_2(x)\Bigr)}\right|_{a}^{b}=%20\Bigl(F_1(b)+F_2(b)\Bigr)-\Bigl(F_1(a)+F_2(a)\Bigr)=\\[-8pt]%20&=\Bigl(F_1(b)-F_1(a)\Bigr)+\Bigl(F_2(b)-F_2(a)\Bigr)%20=\int\limits_{a}^{b}f_1(x)\,dx+%20\int\limits_{a}^{b}%20f_2(x)\,dx\,.\end{aligned}})
\,dx=%20\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+%20\int\limits_{c}^{b}%20f(x)\,dx\,.})
\,dx=F(b)-F(a),~~%20\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx=F(c)-F(a),~~%20\int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(c).})
\,dx=%20\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx+%20\int\limits_{c}^{b}%20f(x)\,dx\,,})
\,dx;\quad%20S_1=\int\limits_{a}^{c}f(x)\,dx;\quad%20S_2=\int\limits_{c}^{b}f(x)\,dx})
. Тогда 
.
\,dx=%20-\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx\,.})
\,dx=F(b)-F(a),\qquad%20\int\limits_{b}^{a}f(x)\,dx=F(a)-F(b).})
+1}{x^2+1}\,dx=%20\int\limits_{0}^{3}%20\frac{(x^2-1)(x^2+1)+1}{x^2+1}\,dx=%20\int\limits_{0}^{3}%20\!\left(x^2-1+\frac{1}{x^2+1}\right)\!dx\,.})
\!dx&=%20\int\limits_{0}^{3}x^2\,dx-\int\limits_{0}^{3}dx+\int\limits_{0}^{3}\frac{dx}{x^2+1}=%20\left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{3}-%20\Bigl.{x}\Bigr|_{0}^{3}+%20\Bigl.{\operatorname{arctg}x}\Bigr|_{0}^{3}=\\%20&=(9-0)-(3-0)+%20(\operatorname{arctg}3-%20\operatorname{arctg}0)=%206+\operatorname{arctg}3.\end{aligned}})
Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.
Определенный интеграл обозначается символом 
. Его можно найти по формуле Ньютона — Лейбница:
. Его можно найти по формуле Ньютона — Лейбница:Свойства определённого интеграла (линейность, аддитивность, теорема о среднем значении и другие).
а) Если существует \,dx})
и 
— любое число, то \,dx=%20\lambda\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx})
.
Доказательство. Из соответствующего свойства неопределенных интегралов следует, что если })
— первообразная для })
, то })
— первообразная для })
. Значит,
б) Если функции })
и })
имеют первообразные на отрезке ![[a;b]](http://tools.jcisio.com/tex/mathtex/mathtex.cgi?\usepackage[usenames]{color}\gammacorrection{1.5}\dpi{130}{[a;b]})
, то
Доказательство. Из соответствующего свойства неопределенных интегралов следует, что если })
— первообразная для })
, a })
— первообразная для })
на отрезке , то +F_2(x)})
— первообразная для +f_2(x)})
. Значит,
в) Если функция имеет первообразную на отрезке и если 
, то (аддитивное свойство определенного интеграла)
Доказательство. Пусть — первообразная для . Тогда
Но -F(a)=\bigl(F(c)-F(a)\bigr)+\bigl(F(b)-F(c)\bigr)})
. Значит,
что и требовалось доказать.
Доказанное свойство имеет простой геометрический смысл: оно выражает аддитивность площади криволинейной трапеции. Так, на рисунке 5
г) Если функция })
имеет первообразную на отрезке , то справедливо равенство
Доказательство. Пусть — первообразная для . Тогда
Но -F(a)=-\bigl(F(a)-F(b)\bigr)})
, откуда и следует доказываемое утверждение.
д) \,dx=0})
. Доказательство: \,dx=F(a)-F(a)=0})
.
Пример 7. Вычислить интеграл от рациональной дроби: 
.
Решение. Сначала выделим целую часть неправильной дроби, содержащейся под знаком интеграла:
Воспользовавшись теперь свойством б) определенного интеграла, получим:
